Fonctions: Polynômes de degré supérieur à 2
Résolution de polynômes de degré supérieur à 2 à l'aide des équations du second degré
Il y a des équations avec des polynômes qui peuvent être résolues à l'aide de la formule quadratique. Pour cela, nous utilisons la substitution.
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Procédure Nous résolvons une équation avec des polynômes en #x# à l'aide de la formule quadratique. |
Exemple #2x^4+3x^2-2=0# |
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| Étape 1 | Écrivez l'équation sous la forme #a \blue x^{\blue n \cdot 2}+b \blue{x^n} +c=0#. | #2\blue{x}^{\blue2 \cdot 2}+3\blue{x^2}-2=0# |
| Étape 2 | Remplacez #\blue{x^n}=\green u#. | #2\green u^2+3\green u-2=0# |
| Étape 3 | Résolvez l'équation du second degré obtenue en #\green u# à l'aide de la formule quadratique. | #\green u=-2 \lor \green u =\tfrac{1}{2}# |
| Étape 4 | Substituez #\green u =\blue{x^n}# dans les solutions trouvées. | #\blue{x^2}=-2 \lor \blue{x^2}=\tfrac{1}{2}# |
| Étape 5 | Déterminez les solutions en #x# à partir des équations obtenues à l'étape 4. | #x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}} \lor x=\tfrac{1}{\sqrt{2}}# |
#x=\sqrt[7]{{{9}\over{5}}} \lor x=\sqrt[7]{7} #
| Étape 1 | Nous écrivons l'équation sous la forme: \[5 x^{2 \cdot 7}-44 x^{7}+63=0\] |
| Étape 2 | Nous substituons #x^7=u#. \[5 u^2-44 u+63=0\] |
| Étape 3 | Nous résolvons l'équation obtenue en #u# à l'aide de la formule quadratique. Le discriminant est égal à: \[\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule du discriminant}}\\ &=& \left(-44\right)^2-4 \cdot 5 \cdot 63 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution de la formule}}\\ &=& 676 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{calculs effectués}}\end{array}\] Comme le discriminant est positif, il y a deux solutions. \[\begin{array}{rcl}u=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} &\lor& u=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule des solutions}}\\ u=\frac{-{-44}-\sqrt{676}}{2 \cdot 5} &\lor& u=\frac{-{-44}+\sqrt{676}}{2 \cdot 5}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution de la formule}}\\ u={{9}\over{5}} &\lor& u=7 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{calculs effectués}}\end{array}\] |
| Étape 4 | Nous substituons #u=x^{7}# pour les solutions trouvées. \[x^{7}={{9}\over{5}} \lor x^{7}=7\] |
| Étape 5 | Finalement, nous résolvons les équations en appliquant la racine. Nous obtenons les solutions de l'équation initiale: \[x=\sqrt[7]{{{9}\over{5}}} \lor x=\sqrt[7]{7}\] |
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