#\int -\cos(7\cdot t)^6\cdot \sin(7\cdot t) \,\dd t=# #{{\cos(7\cdot t)^7}\over{49}} + C#

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Nous appliquons l'intégration par substitution avec #g(t)={{t^6}\over{7}}# et #h(t)=\cos(7\cdot t)#, car alors #g(h(t)) \cdot h'(t)=-\cos(7\cdot t)^6\cdot \sin(7\cdot t)#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int -\cos(7\cdot t)^6\cdot \sin(7\cdot t) \,\dd t&=& \displaystyle \int {{\cos(7\cdot t)^6}\over{7}} \cdot -7\cdot \sin(7\cdot t) \, \dd t \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 2: écriture sous la forme }\int g(h(t)) \cdot h'(t) \, \dd t \text{ avec } h'(t)=-7\cdot \sin(7\cdot t)} \\ &=& \displaystyle \int {{\cos(7\cdot t)^6}\over{7}} \, \dd(\cos(7\cdot t)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 3: réécriture en utilisant }h'(t)=\dd (h(t))} \\ &=& \displaystyle \int {{u^6}\over{7}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 4: substitution de }\cos(7\cdot t)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^7}\over{49}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 5: primitive}} \\ &=& \displaystyle {{\cos(7\cdot t)^7}\over{49}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 6: substitution de }u=\cos(7\cdot t)}
\end{array}\]