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Rappelez-vous que #\sqrt{\blue {9}} = \orange 3#.
Pour trouver la racine carrée, nous recherchons #\orange{\text{un nombre non négatif}}# qui une fois élevé au carré nous donnera #\blue{\text{le nombre en dessous de la racine}}#.
La racine (carrée) #\sqrt{\blue a}# de #\blue a# est le nombre #\orange x# pour lequel nous avons
\[\orange x^2=\blue a \qquad \text{et} \qquad \orange x\geq 0\]
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Exemple
\[\begin{array}{c}
\sqrt{\blue {9}}\;=\;\orange3 \\ \text{ car } \\ \orange 3^2=\blue {9} \quad \text{et}\quad \orange 3 \geq 0\\ \\ \sqrt{\blue {0}}\;=\;\orange0 \\ \text{ car } \\ \orange 0^2=\blue {0} \quad \text{et}\quad \orange 0 \geq 0\end{array}\]
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La racine carrée d'un nombre ne peut pas être négative.
Par conséquent, #\sqrt{\blue 9}=\orange 3# et non pas #\orange{-3}# bien que nous ayons #(\orange{-3})^2=\blue 9#.
Ceci est défini ainsi pour donner une définition de la racine carrée sans ambiguïté.
Par conséquent, nous pouvons parler de la racine carrée de #\blue {9}#.
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\[\begin{array}{c}
\sqrt{\blue {9}} \;\red{\neq}\; \orange{ -3} \\ \text{ car } \\
\orange {-3} {\;\red{\not\geq}\;} 0
\end{array}\]
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La racine d'un nombre non négatif #\blue {a}# est une solution de l'équation #\orange {x}^2=\blue {a}# dans l'inconnu #x#. Cela signifie que #\orange {x}=\sqrt{\blue {a}}# satisfait à cette équation, donc #\left(\sqrt{\blue {a}}\right)^2 = \blue {a}#.
Si #\blue {a}\gt0#, il y a une deuxième solution de l'équation #\orange {x}^2=\blue {a}#, à savoir #\orange {x}=-\sqrt{\blue {a}}#. Après tout, #\left(-\sqrt{\blue {a}}\right)^2 = \blue {a}#. Cette solution est négative.
Une solution d'une équation est appelé racine de l'équation. Donc, il peut y avoir deux racines de l'équation #\orange {x}^2=\blue {a}#.
Pour vous assurer que #\sqrt{\blue {a}}# est déterminé de manière unique, nous exigeons que cette expression ne soit pas négative. Ainsi, #\sqrt{\blue {a}}# est la seule racine non négative de l'équation #\orange {x}^2=\blue {a}# et #-\sqrt{\blue {a}}# est la seule racine négative de cette équation si #\blue {a}\ne0#.
La racine d'un nombre #\sqrt{\blue {a}}# n'a de sens que si #\blue{a}\geq 0#. Il n'y a pas de nombre réel #x# tel que #\orange {x}^2# est négatif, parce que \[\begin{array}{c}
\text{negatif} \cdot \text{negatif}= \text{positif} \\
\text{positif} \cdot \text{positif} = \text{positif}
\end{array}\]
Par conséquent, les expressions et les règles algébriques avec des racines ne sont valables que si l'expression sous la racine n'est pas négative. Par exemple, pour l'expression #\sqrt{\green{x y}}# nous devons avoir #\green{x y}\geq 0#.
Substituez #x=-8# dans #\sqrt{x-8}#. Est-ce possible?
non
Nous pouvons substituer toutes les valeurs pour #x# pour lesquelles #x-8# est supérieure ou égale à #0#, puisque le nombre en dessous de la racine ne peut pas être négatif.
Si nous substituons #x=-8#, nous obtenons # -8 -8 = -16 \lt 0 #. Par conséquent, nous ne pouvons pas substituer cette valeur.
Racines carrées
