Antiderivadas conocidas de algunas funciones cocientes

Integración: Técnicas de integración

Antiderivadas conocidas de algunas funciones cocientes

En las siguientes páginas, veremos métodos para encontrar la antiderivada de algunas funciones de cociente. Primero, veremos dos antiderivadas especiales.

\[\int \frac{1}{x^2+1} \; \dd x=\arctan(x)+\green C\]

Ejemplo

#\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \frac{3}{x^2+1} \; \dd x &=& 3 \displaystyle \int\frac{1}{x^2+1} \; \dd x \\ &=& 3 \arctan(x) + \green C\end{array}#

Nuestro primer paso es sustituir #x=\tan(t)#, lo que da:

\[\int \frac{1}{x^2+1} \; \dd x = \int \frac{1}{\tan^2(t)+1} \; \dd \tan(t)\]

Ya sabemos que #\frac{\dd \tan(t)}{\dd t} = \tan^2(t)+1#. Por lo tanto, #\dd \tan(t) = \tan^2(t)+1 \; \dd t#. Y por lo tanto:

\[\int \frac{1}{\tan^2(t)+1} \; \dd \tan(t)= \int \frac{\tan^2(t)+1}{\tan^2(t)+1} \; \dd t\]

Podemos resolver esto más adelante. Esto se realiza de la siguiente manera:

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \dfrac{\tan^2(t)+1}{\tan^2(t)+1} \; \dd t&=&\displaystyle \int 1 \; \dd t \\ &=&t+\green C\end{array}\]

Ahora sustituimos #\tan(t)=x#, en otras palabras #t=\arctan(x)#, de nuevo. Esto nos da:

\[\int \frac{1}{x^2+1} \; \dd x = \arctan(x) +\green C\]

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x=\arcsin(x)+\green C\]

Ejemplo

#\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x &=& 2 \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x \\ &=& 2 \arcsin(x) + \green C\end{array}#

Nuestro primer paso es sustituir #x=\sin(t)#, lo que da:

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x = \int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \; \dd \sin(t)\]

Ya sabemos que: #\frac{\dd \sin(t)}{\dd t} = \cos(t)#. Por lo tanto, #\dd \sin(t) = \cos(t) \; \dd t#. Y por lo tanto:

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \; \dd \sin(t)= \int \frac{\cos(t)}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \; \dd t\]

Podemos resolver esto aún más usando #1-\sin^2(t)=\cos^2(t)#. Esto se realiza de la siguiente manera:

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \frac{\cos(t)}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \; \dd t&=& \displaystyle \int \frac{\cos(t)}{\sqrt{\cos^2(t)}} \; \dd t \\ &=&\displaystyle \int \frac{\cos(t)}{|\cos(t)|} \; \dd t \end{array}\]

Ahora tomamos #-\frac{\pi}{2} \lt t \lt \frac{\pi}{2}# en cuyo caso se aplica #|\cos(t)|=\cos(t)#.

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \dfrac{\cos(t)}{|\cos(t)|} \; \dd t&=&\displaystyle \int \dfrac{\cos(t)}{\cos(t)} \; \dd t \\&=& \displaystyle \int 1 \; \dd t\\ &=&t+\green C\end{array}\]

Ahora sustituimos #\sin(t)=x# con #-\frac{\pi}{2} \lt t \lt \frac{\pi}{2}#, en otras palabras #t=\arcsin(x)#, de nuevo. Esto nos da:

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x = \arcsin(x) +\green C\]

Determina #\int {{1}\over{7\cdot x^2+1}} \,\dd x#.

Usa #C# para denotar la constante de integración.

#\int {{1}\over{7\cdot x^2+1}} \,\dd x=# #{{\arctan(\sqrt{7}\cdot x)}\over{\sqrt{7}}} + C#

#\begin{array}{rcl}\displaystyle \int {{1}\over{7\cdot x^2+1}} \; \dd x &=& \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{7}} \frac{1}{(\sqrt{7}\cdot x)^2+1} \; \dd(\sqrt{7}\cdot x) \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se reescribió para poder sustituir }} \\ &=& \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot {{1}\over{u^2+1}} \; \dd u \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{sustituyendo }\sqrt{7}\cdot x=u} \\ &=& \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \arctan(u) +C\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{se encontró la antiderivada}} \\ &=&\displaystyle {{\arctan(\sqrt{7}\cdot x)}\over{\sqrt{7}}} +C \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{sustituyendo }u=\sqrt{7}\cdot x} \end{array}#

Nuevo ejemplo