Resolución de polinomios de grado superior con ecuación cuadrática

Funciones: Polinomios de grado superior

Resolución de polinomios de grado superior con ecuación cuadrática

Algunas ecuaciones con polinomios se pueden resolver con la fórmula cuadrática. Para eso, usamos la sustitución.

	Procedimiento Resolvemos una ecuación con polinomios en #x# con la fórmula cuadrática.	Ejemplo #2x^4+3x^2-2=0#
Paso 1	Escribe la ecuación en la forma #a \blue x^{\blue n \cdot 2}+b \blue{x^n} +c=0#.	#2\blue{x}^{\blue2 \cdot 2}+3\blue{x^2}-2=0#
Paso 2	Sustituye #\blue{x^n}=\green u#.	#2\green u^2+3\green u-2=0#
Paso 3	Resuelve la ecuación cuadrática obtenida en #\green u# con la fórmula cuadrática.	#\green u=-2 \lor \green u =\tfrac{1}{2}#
Paso 4	Sustituye #\green u =\blue{x^n}# en la(s) solución(es) encontrada(s).	#\blue{x^2}=-2 \lor \blue{x^2}=\tfrac{1}{2}#
Paso 5	Determina las soluciones en #x# a partir de las ecuaciones obtenidas en el paso 4.	#x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}} \lor x=\tfrac{1}{\sqrt{2}}#

Resuelve #x# en la ecuación
\[3\cdot x^6+4\cdot x^3+1=0\tiny\]
Da tu respuesta en la forma #x=x_1\lor x=x_2 \lor \ldots \lor x=x_n#, en la cual #x_1#, #x_2#, #\ldots#, #x_n# son números y #n# es el número de soluciones.

#x=\sqrt[3]{-1} \lor x=\sqrt[3]{-{{1}\over{3}}} #

Paso 1	Escribimos la ecuación en la forma: \[3 x^{2 \cdot 3}+4 x^{3}+1=0\]
Paso 2	Sustituimos #x^3=u#. Esto da: \[3 u^2+4 u+1=0\]
Paso 3	Resolvemos la ecuación obtenida en #u# mediante la fórmula cuadrática. El discriminante es igual a: \[\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{fórmula para el discriminante}}\\ &=& \left(4\right)^2-4 \cdot 3 \cdot 1 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{fórmula ingresada}}\\ &=& 4 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{calculado}}\end{array}\] Dado que el discriminante es positivo, hay dos soluciones. Estas son: \[\begin{array}{rcl}u=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} &\lor& u=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{fórmula para las soluciones}}\\ u=\frac{-{4}-\sqrt{4}}{2 \cdot 3} &\lor& u=\frac{-{4}+\sqrt{4}}{2 \cdot 3}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{fórmula ingresada}}\\ u=-1 &\lor& u=-{{1}\over{3}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{calculado}}\end{array}\]
Paso 4	Ahora sustituimos #u=x^{3}# en las soluciones encontradas, esto nos da \[x^{3}=-1 \lor x^{3}=-{{1}\over{3}}\]
Paso 5	Por último, resolvemos estas ecuaciones tomando la raíz. Esto nos da las soluciones a la ecuación original: \[x=\sqrt[3]{-1} \lor x=\sqrt[3]{-{{1}\over{3}}}\]

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