#\int \cos(8\cdot x)^5\cdot \sin(8\cdot x) \,\dd x=# #-{{\cos(8\cdot x)^6}\over{48}} + C#

---

We passen de substitutiemethode toe met #g(x)=-{{x^5}\over{8}}# en #h(x)=\cos(8\cdot x)#, want dan geldt #g(h(x)) \cdot h'(x)=\cos(8\cdot x)^5\cdot \sin(8\cdot x)#. Dit gaat als volgt:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(8\cdot x)^5\cdot \sin(8\cdot x) \,\dd x&=& \displaystyle \int -{{\cos(8\cdot x)^5}\over{8}} \cdot -8\cdot \sin(8\cdot x) \, \dd x \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 2: herschreven in de vorm }\int g(h(x)) \cdot h'(x) \, \dd x \text{ met } h'(x)=-8\cdot \sin(8\cdot x)} \\ &=& \displaystyle \int -{{\cos(8\cdot x)^5}\over{8}} \, \dd(\cos(8\cdot x)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 3: herschreven met het gebruik van }h'(x)=\dd (h(x))} \\ &=& \displaystyle \int -{{u^5}\over{8}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 4: gesubstitueerd }\cos(8\cdot x)=u} \\ &=& \displaystyle -{{u^6}\over{48}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 5: geprimitvieerd}} \\ &=& \displaystyle -{{\cos(8\cdot x)^6}\over{48}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 6: gesubstitueerd }u=\cos(8\cdot x)}
\end{array}\]