Funciones de potencia con exponentes negativos

Funciones: Funciones fraccionarias

Funciones de potencia con exponentes negativos

Función de potencia con exponente negativo

Una función de potencia con un exponente entero negativo tiene la forma \[f(x)=\blue{a}x^{-\orange{n}}\]

en la cual #\orange{n}# es un número entero positivo.

También podemos escribir esta función como \[f(x)=\frac{\blue{a}}{x^{\orange{n}}}\]

La gráfica de una función de potencia con un exponente entero negativo se mueve a través del punto #\rv{1,\blue{a}}#, tiene una asíntota vertical en #x=0# y asíntota horizontal en la línea #y=0#.

Si #\orange{n}# es par, la función es simétrica en el eje #y#. Si #\orange{n}# es impar, la función tiene el punto #\rv{0,0}# como el punto de simetría.

Función de potencia negativa de GeoGebra

Dominio y rangoUna función de potencia con exponente negativo tiene una asíntota vertical en #x=0#. Esto es así porque no podemos dividir por #0#; por lo tanto, el valor de la función en #f(0)# no existe. El dominio de una función de potencia con exponente negativo son todos los números, excepto #x=0#.

El rango de una función de potencia con un exponente negativo par es igual a todos los números positivos si #\blue a \gt 0#. Si #\blue a \lt 0#, el rango es igual a todos los números negativos.

Para una función de potencia con exponente negativo impar, el rango es igual a todos los números excepto #0#.

Función par e impar

Si #\orange{n}# es par, denominamos a #f(x)=\frac{\blue{a}}{x^{\orange{n}}}# una función par. Esto significa que: \[f(-x)=f(x)\]

Por lo tanto, esta es otra forma de describir que la gráfica es simétrica a lo largo del eje #y#.

Si #\orange{n}# es impar, denominamos a #g(x)=\frac{\blue{a}}{x^{\orange{n}}}# una función impar. Esto significa que: \[g(-x)=-g(x)\]

Por lo tanto, esta es otra forma de describir que la gráfica tiene simetría puntual a través del punto #\rv{0,0}#.

Ejemplo

Para #f(x)=\frac{\blue{1}}{x^{\orange{4}}}# tenemos:

\[f(-2)=\frac{\blue1}{\left(-2\right)^{\orange{4}}}=\frac{1}{16}=\frac{\blue1}{\left(2\right)^{\orange{4}}}=f(2)\]

Para #g(x)=\frac{\blue1}{x^{\orange{3}}}# tenemos:

\[f(-2)=\frac{\blue1}{\left(-2\right)^{\orange{3}}}=\frac{1}{8}=-\frac{\blue1}{\left(2\right)^{\orange{3}}}=-f(2)\]

Fíjate en la gráfica de una función de potencia con exponente negativo de la forma #f(x)=\frac{a}{x^n}#.

¿Qué sabemos sobre los valores de #n# y #a#?

El valor de #n# es: impar
El valor de #a# es: positivo

La gráfica es simétrico en el punto #\rv{0,0}#, por lo tanto, el valor de #n# es impar.
El valor #y# es positivo si el valor de #x# es positivo, por lo tanto, el valor de #a# es positivo.

Nuevo ejemplo