Équations avec des fonctions puissances

Fonctions: Fonctions puissances

Équations avec des fonctions puissances

Lors des équations du second degré, nous avons vu comment résoudre une équation du type #x^2=c#. De même, nous utiliserons les racines n-ièmes pour résoudre une équation du type #x^n=c#.

RègleLes solutions de l'équation #x^\orange{n}=\blue{c}# dépendent des valeurs de #\orange n# et #\blue c#.

#\blue{c} \gt 0#

#\blue{c}=0#

#\blue{c} \lt 0#

#\orange{n}# pair

Deux solutions:

#x=-\sqrt[\orange{n}]{\blue{c}} \lor x=\sqrt[\orange{n}]{\blue{c}}#

Une solution:

#x=0#

Aucune solution

#\orange{n}# impair

Une solution:

#x=\sqrt[\orange{n}]{\blue{c}}#

Une solution:

#x=0#

Une solution:

#x=\sqrt[\orange{n}]{\blue{c}}#

Puissances fractionnaires Nous avons vu la règle suivante pour les puissances fractionnaires :

\[\sqrt[\orange{n}]{x}=x^{\frac{1}{\orange{n}}}\]

Ainsi, nous pouvons également écrire les solutions à l'aide des puissances fractionnaires. Les solutions sont alors:

#\blue{c} \gt 0#

#\blue{c}=0#

#\blue{c} \lt 0#

#\orange{n}# pair

Deux solutions:

#x=-\blue{c}^{\frac{1}{\orange{n}}} \lor x=\blue{c}^{\frac{1}{\orange{n}}}#

Une solution:

#x=0#

Aucune solution

#\orange{n}# impair

Une solution:

#x=\blue{c}^{\frac{1}{\orange{n}}}#

Une solution:

#x=0#

Une solution:

#x=\blue{c}^{\frac{1}{\orange{n}}}#

Dans les exemples suivants, vous allez voir que vous pouvez réduire de nombreuses équations sous la forme #x^\orange{n}=\blue{c}# et les résoudre par la suite.

Résolvez #4\, x^{6}+2=7#.

Donnez votre réponse sous la forme #x=x_1# ou #x=x_1 \lor x=x_2# avec #x_1# et #x_2# des nombres.

#x=\frac{1}{2}\sqrt[6]{80} \lor x=-\frac{1}{2}\sqrt[6]{80}#

#\begin{array}{rcl}4\, x^{6}+2&=& 7 \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{équation à résoudre}} \\
4\, x^{6}&=&5 \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{soustraction de }2} \\
x^{6} &=& {{5}\over{4}} \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{division par }4} \\
x=\sqrt[6]{{{5}\over{4}}} &\lor& x=-\sqrt[6]{{{5}\over{4}}} \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{application de la racine }6 \text{-ième}}\\
x=\frac{1}{2}\sqrt[6]{80} &\lor& x=-\frac{1}{2}\sqrt[6]{80}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{réduction}} \end{array}#

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