Funciones: Funciones de potencia y funciones de raíz
Ecuaciones de raíz
A continuación, se muestran ejemplos en los que se debe resolver una ecuación de raíz.
#x=1#
\[\begin{array}{rcl}\sqrt{4x+5}&=&3 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{la ecuación original}}\\
4x+5&=&9 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados al cuadrado}}\\
4x&=& 4 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados menos }5}\\
x&=&1 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados divididos por }4}\end{array}\]
Ahora verificamos las soluciones encontradas #x=1# al ingresarlas en la ecuación:
\[\sqrt{4 \cdot 1+5}=\sqrt{9}=3\]
Por lo tanto, la solución es correcta y la solución de la ecuación es #x=1#.
\[\begin{array}{rcl}\sqrt{4x+5}&=&3 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{la ecuación original}}\\
4x+5&=&9 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados al cuadrado}}\\
4x&=& 4 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados menos }5}\\
x&=&1 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados divididos por }4}\end{array}\]
Ahora verificamos las soluciones encontradas #x=1# al ingresarlas en la ecuación:
\[\sqrt{4 \cdot 1+5}=\sqrt{9}=3\]
Por lo tanto, la solución es correcta y la solución de la ecuación es #x=1#.
En el siguiente sistema de coordenadas, vemos la gráfica #f(x)=\sqrt{4x+5}# en azul y #g(x)=3# en verde, y su punto de intersección #\rv{1,3}# en rojo.
En general, podemos resolver una ecuación de raíz con lo siguiente #4# pasos.
Resolución de ecuaciones de raíz
| Procedimiento Resolvemos una ecuación de raíz para #x#. | Ejemplo #\sqrt{x+4}+4=9# | |
| Paso 1 | Aísla la raíz. Esto significa que, mediante la reducción, nos aseguramos de que la raíz sea lo único en un lado de la ecuación. | #\sqrt{x+4}=5# |
| Paso 2 | Toma el cuadrado de ambos lados para deshacerte de la raíz. | #x+4=25# |
| Paso 3 | Resuelve esta ecuación. | #x=21# |
| Paso 4 | Verifica si la solución encontrada es una solución a la ecuación original. | #\sqrt{21+4}+4=9# Por tanto, la solución es correcta. |
#$o#
\[\begin{array}{rcl}
$k&=& $m\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{ecuación original}}\\
$u&=&$wa \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados al cuadrado}} \\
$q&=&$s \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{términos de }x \text{ llevados a la izquierda, términos constantes llevados a la derecha}} \\
\end{array}\]
\[$wm=$wh\]
En el lado derecho está:
\[$wn=$wi\]
izquierda y derecha son iguales, por lo que esta solución es correcta.
En conclusión, la respuesta de la ecuación es #$o#.
\[\begin{array}{rcl}
$k&=& $m\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{ecuación original}}\\
$u&=&$wa \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados al cuadrado}} \\
$q&=&$s \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{términos de }x \text{ llevados a la izquierda, términos constantes llevados a la derecha}} \\
\end{array}\]
Porque hemos tomado el cuadrado, la solución para #x# que encontramos puede no ser una solución a la ecuación original. Por lo tanto, ahora debemos probar la solución que encontramos al ingresarla a la ecuación original.
En el lado izquierdo está:\[$wm=$wh\]
En el lado derecho está:
\[$wn=$wi\]
izquierda y derecha son iguales, por lo que esta solución es correcta.
En conclusión, la respuesta de la ecuación es #$o#.
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