We hebben eerder gezien dat een functie #f:\blue X \to \orange Y# aan elk element #x# van een verzameling #\blue X# een element #y# in de verzameling #\orange Y# toewijst. We gaan nu in meer detail naar deze verzamelingen kijken.
Zij #f# een functie van #\blue X# naar #\orange Y#. We noemen de verzameling #\blue X# het #\blue{\textbf{domein}}# van #f# en de verzameling #\orange Y# het #\orange{\textbf{codomein}}# van #f#.
Een functie #f# wijst dus voor elk element #x# uit het #\blue{\text{domein}}# een element #y# uit het #\orange{\text{codomein}}# aan.
Voorbeeld
#f: \{1,2,3\} \to \{1,2,\ldots,9\}#
met functievoorschrift: #f(x)=x^2#
#\blue{\text{Domein}}#: #\{1,2,3\}#
#\orange{\text{Codomein}}#: #\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}#
In het geval van het #\orange{\text{codomein}}# is het niet noodzakelijk dat elk element ook bereikt wordt. Het deel dat wel bereikt wordt, noemen we het bereik. We komen hier later uitgebreider op terug.
Voorbeeld
#f: \{1,2,3\} \to \{1,2,\ldots,9\}#
met functievoorschrift: #f(x)=x^2#
Bereik: #\{1,4,9\}#
Een bijzondere functie is de constante functie. Dit is de functie die bij elk element #x# van #\blue{X}# hetzelfde element #y# uit #\orange{Y}# aanwijst.
Het bereik van deze functie is dan de verzameling #\{y\}#.
Voorbeelden
#f(x)=4#
#f(x)=-\frac{1}{3}#
#f(x)=\pi#
De meeste functies in deze cursus zijn reëelwaardig.
Functies waarbij het #\orange{\text{codomein}}# gelijk is aan #\mathbb{R}# noemen we reëelwaardige functies.
Als bovendien het #\blue{\text{domein}}# een deel van #\mathbb{R}# is, noemen we de functie een reële functie.
Wanneer we een reële functie weergeven met een functievoorschrift is het niet meteen duidelijk wat het #\blue{\text{domein}}# is. We zeggen dan dat het #\blue{\text{domein}}# het grootst mogelijke gebied is waarop de functie gedefinieerd is.
Voorbeelden
Het #\blue{\text{domein}}# van:
#f(x)=x^2# is #\blue{\mathbb{R}}#
#f(x)=\sqrt{x}# is #\blue{\ivco{0}{\infty}}#
#f(x)=\frac{1}{x}# is #\blue{\mathbb{R}\setminus\{0\}}#
#f(x) = \sqrt{4-x}# is #\blue{(-\infty, 4]}#
In deze cursus zal vaak een functie alleen gegeven worden aan de hand van een functievoorschrift. Het #\blue{\text{domein}}# wordt dan niet expliciet vermeld; zoals gezegd wordt dan het grootst mogelijke #\blue{\text{domein}}# in #\mathbb{R}# bedoeld. Bij sommige soorten functies, zoals machtsfuncties, zullen we aangeven dat we het #\blue{\text{domein}}# standaard voor deze groep beperkt kiezen.
Het is belangrijk het #\blue{\text{domein}}# in acht te nemen, bijvoorbeeld bij het tekenen van grafieken of het oplossen van vergelijkingen.
Ook het #\orange{\text{codomein}}# wordt vaak niet expliciet vermeld. In deze cursus wordt vooral met reële of reëelwaardige functies gewerkt en dan is het gelijk aan #\mathbb{R}#.
Een reële functie #f# weergegeven door een functievoorschrift heeft meestal als domein de grootst mogelijke deelverzameling van #\mathbb{R}# waarop het functievoorschrift #f(t)# is gedefinieerd. We kunnen het domein van #f# ook bewust beperken. Bijvoorbeeld bij een functie die de baan van een voetbal beschrijft. De functie beschrijft dan de hoogte van de bal op een tijdstip #t#. Als de bal op tijdstip #t=0# wordt weggeschopt, is het logisch het domein te beperken tot #t \geq 0#.
Omdat het domein de grootst mogelijke verzameling is waarop de functie gedefinieerd is, is het domein van de reële functie #f(x) = \sqrt{x}# gelijk aan de verzameling #\ivco{0}{\infty}#. Want de wortel van een negatief getal is niet gedefinieerd.
Welke van de volgende verzamelingen is het grootst mogelijke domein van de functie #f(x) = {{1}\over{x+6}}#?
#\mathbb{R}\setminus\{-6\}#
Het grootst mogelijke domein zijn alle #x#-waarden waarvoor de functie gedefinieerd is.
Een gebroken functie is niet gedefinieerd als de noemer gelijk aan #0# is. In dit geval is de noemer gelijk aan #0# als #x=-6#. De functie is dus gedefinieerd voor alle reële getallen behalve #-6#.
Daarom is het grootst mogelijke domein alle reële getallen behalve #-6# en dat noteren we als #\mathbb{R}\setminus\{-6\}#.
Domein
