Hoofdstuk 4: Kansverdelingen: Kansvariabelen
Variantie van een kansvariabele
Definitie
De variantie van een kansvariabele #X# is de gemiddelde kwadratische afwijking van de verwachtingswaarde.
#\phantom{0}#
De standaardafwijking van #X# is de positieve vierkantswortel van de variantie.
Notatie
\[\sigma^2\]
Alternatieven: #\sigma_X^2# or #Var[X]#
\[\sigma\]
Alternatieven: #\sigma_X# or #SD[X]#
Variantie en standaardafwijking van een discrete kansvariabele
Laat #X# een discrete kansvariabele zijn met een verwachtingswaarde #\mathbb{E}[X]#.
Dan wordt de variantie van #X# als volgt berekend:
\[\sigma^2=\mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]\]
Een alternatieve vorm van de bovenstaande formule die het rekenwerk makkelijker maakt is:
\[\sigma^2=\mathbb{E}[X^2] - (E[X])^2\]
Om de standaardafwijking te berekenen, trek je de positieve vierkantswortel uit de variantie:
\[\sigma=\sqrt{\sigma^2}\]
Gegeven is de volgende kansverdeling van een discrete kansvariabele #X#:
| #x# | #0# | #1# | #2# | #3# |
| #\mathbb{P}(X=x)# | #0.1# | #0.2# | #0.4# | #0.3# |
Bereken de variantie en de standaardafwijking van #X#.
Om de variantie van #X# te berekenen, gebruiken we de volgende formule
\[\sigma^2=\mathbb{E}[X^2] - (E[X])^2\]
Bereken eerst de verwachtingswaarde #\mathbb{E}[X]#:
\[\begin{array}{rcl}
\mathbb{E}[X]&=&\sum\limits_{\text{alle }x\text{ in }R(X)}x\cdot f(x)\\\\
&=&0 \cdot \mathbb{P}(X=0) + 1 \cdot \mathbb{P}(X=1) +2 \cdot \mathbb{P}(X=2) +3 \cdot \mathbb{P}(X=3) \\\\
&=&0 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.4 + 3 \cdot 0.3\\\\
&=& 1.9\\
\end{array}\]
Bereken #\mathbb{E}[X^2]#:
\[\begin{array}{rcl}
\mathbb{E}[X^2]&=&\sum\limits_{\text{alle }x\text{ in }R(X)}x^2\cdot f(x)\\\\
&=&0^2 \cdot \mathbb{P}(X=0) + 1^2 \cdot \mathbb{P}(X=1) +2^2 \cdot \mathbb{P}(X=2) +3^2 \cdot \mathbb{P}(X=3) \\\\
&=&0^2 \cdot 0.1 + 1^2 \cdot 0.2 + 2^2 \cdot 0.4 + 3^2 \cdot 0.3\\\\
&=& 4.5\\
\end{array}\]
Bereken de variantie #\sigma^2#:
\[\begin{array}{rcl}
\sigma^2 &=& \mathbb{E}[X^2] - (E[X])^2\\\\
&=& 4.5 - 1.9^2\\\\
&=& 0.89
\end{array}\]
Om de standaardafwijking te berekenen, trekken we de positieve vierkantswortel uit de variantie:
\[\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{0.89} = 0.943\]
#\phantom{0}#
Variantie en standaardafwijking van een continue kansvariabele
De variantie van een continue kansvariabele wordt berekend met behulp van integraalrekening. Dit wordt niet in deze cursus behandeld.
