|
Herinner je dat #\sqrt{\blue {9}} = \orange 3#.
Om de wortel te vinden zoeken we naar #\orange{\text{een niet-negatief getal}}# dat in het kwadraat #\blue{\text{het getal onder het wortelteken}}# oplevert.
De (vierkants-)wortel #\sqrt{\blue a}# van #\blue a# is het getal #\orange x# waarvoor geldt
\[\orange x^2=\blue a \qquad \text{en} \qquad \orange x\geq 0\]
|
Voorbeeld
\[\begin{array}{c}
\sqrt{\blue {9}}\;=\;\orange3 \\ \text{ want } \\ \orange 3^2=\blue {9} \quad \text{en}\quad \orange 3 \geq 0\\ \\ \sqrt{\blue {0}}\;=\;\orange0 \\ \text{ want } \\ \orange 0^2=\blue {0} \quad \text{en}\quad \orange 0 \geq 0\end{array}\]
|
|
De wortel van een getal mag niet negatief zijn.
Dus #\sqrt{\blue 9}=\orange 3# en niet #\orange{-3}#, ook al geldt #(\orange{-3})^2=\blue 9#.
Dit is zo afgesproken om de wortel eenduidig te definiëren.
We kunnen dus spreken van de wortel van #\blue {9}#.
|
\[\begin{array}{c}
\sqrt{\blue {9}} \;\red{\neq}\; \orange{ -3} \\ \text{ want } \\
\orange {-3} {\;\red{\not\geq}\;} 0\\ \\
\end{array}\]
|
De wortel van een niet-negatief getal #\blue {a}# is een oplossing van de vergelijking #\orange {x}^2=\blue {a}# in de onbekende #\orange {x}#. Dat wil zeggen: #\orange {x}=\sqrt{\blue {a}}# voldoet aan deze vergelijking, dus #\left(\sqrt{\blue {a}}\right)^2 = \blue {a}#.
Als #\blue {a}\gt0#, dan is er een tweede oplossing van de vergelijking #\orange {x}^2=\blue {a}#, namelijk #\orange {x}=-\sqrt{\blue {a}}#. Immers, #\left(-\sqrt{\blue {a}}\right)^2 = \blue {a}#. Deze oplossing is negatief.
Een oplossing van een vergelijking heet ook wel een wortel van die vergelijking. Er kunnen dus twee wortels zijn van de vergelijking #\orange {x}^2=\blue {a}#.
Om ervoor te zorgen dat #\sqrt{\blue {a}}# uniek bepaald is, eisen we dat deze uitdrukking niet negatief is. Zo is #\sqrt{\blue {a}}# de enige niet-negatieve wortel van de vergelijking #\orange {x}^2=\blue {a}# en is #-\sqrt{\blue {a}}# de enige negatieve wortel van die vergelijking als #\blue {a}\ne0#.
De wortel van een getal #\sqrt{\blue {a}}# heeft alleen betekenis als #\blue{a}\geq 0#. Er is immers geen reëel getal #x# waarvoor geldt dat #\orange {x}^2# negatief is, omdat \[\begin{array}{c}
\text{negatief} \cdot \text{negatief}= \text{positief} \\
\text{positief} \cdot \text{positief} = \text{positief}
\end{array}\]
Uitdrukkingen en algebraïsche regels met wortels zijn dus alleen geldig als de uitdrukking onder het wortelteken niet negatief is. Bijvoorbeeld voor de uitdrukking #\sqrt{\green{x y}}# moet gelden dat #\green{x y}\geq 0#.
Substitueer #x=7# in #\sqrt{x+6}#. Kan dit?
ja
We kunnen elke waarde voor #x# substitueren waarvoor #x+6# groter of gelijk aan #0# is, want het getal onder de wortel mag niet negatief zijn.
Als we #x=7# substiueren, krijgen we #7+6=13 \geq 0 #. Dus we kunnen deze waarde substitueren.
Wortels
