Funciones: Funciones de potencia
Ecuaciones con funciones de potencia
En ecuaciones cuadráticas hemos visto cómo resolver una ecuación #x^2=c#. Con el mismo procedimiento, usaremos raíces de grado mayor para resolver una ecuación #x^n=c#.
Las soluciones de la ecuación #x^\orange{n}=\blue{c}# dependen de los valores de #\orange n# y #\blue c#.
| #\blue{c} \gt 0# | #\blue{c}=0# | #\blue{c} \lt 0# | |
| #\orange{n}# es par | Dos soluciones: #x=-\sqrt[\orange{n}]{\blue{c}} \lor x=\sqrt[\orange{n}]{\blue{c}}# | Una solución: #x=0# | Ninguna solución
|
| #\orange{n}# es impar | Una solución: #x=\sqrt[\orange{n}]{\blue{c}}# | Una solución: #x=0# | Una solución: #x=\sqrt[\orange{n}]{\blue{c}}# |
En los ejemplos vemos que puedes reducir muchas ecuaciones a la forma #x^\orange{n}=\blue{c}# y luego resolverlas.
#x=\frac{1}{5}\sqrt{5} \lor x=-\frac{1}{5}\sqrt{5}#
#\begin{array}{rcl}5\, x^{2}+2&=& 3 \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{la ecuación que necesitamos resolver}} \\
5\, x^{2}&=&1 \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados menos }2} \\
x^{2} &=& {{1}\over{5}} \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados divididos por }5} \\
x=\sqrt[2]{{{1}\over{5}}} &\lor& x=-\sqrt[2]{{{1}\over{5}}} \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados tomaron la }2 \text{-ésima raíz}}\\
x=\frac{1}{5}\sqrt{5} &\lor& x=-\frac{1}{5}\sqrt{5}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplificada}} \end{array}#
#\begin{array}{rcl}5\, x^{2}+2&=& 3 \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{la ecuación que necesitamos resolver}} \\
5\, x^{2}&=&1 \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados menos }2} \\
x^{2} &=& {{1}\over{5}} \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados divididos por }5} \\
x=\sqrt[2]{{{1}\over{5}}} &\lor& x=-\sqrt[2]{{{1}\over{5}}} \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{ambos lados tomaron la }2 \text{-ésima raíz}}\\
x=\frac{1}{5}\sqrt{5} &\lor& x=-\frac{1}{5}\sqrt{5}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplificada}} \end{array}#
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