Réciproque de fonctions homographiques

Fonctions: Fonctions rationnelles

Réciproque de fonctions homographiques

Nous avons vu que déterminer la fonction réciproque revient à isoler la variable #x# dans une équation de la forme #y=\ldots#. Maintenant, nous allons voir comment le faire pour des fonctions homographiques.

	Procédure Nous déterminons la réciproque de la fonction homographique #\green{y}=\frac{a\blue{x}+b}{c\blue{x}+d}# avec #a#, #b#, #c# et #d# des nombres.	Exemple #\green{y}=\frac{2\blue{x}-5}{3\blue{x}+2}#
Étape 1	Multipliez par le dénominateur de la fraction: #c\blue{x}+d#.	#\green{y} \left(3\blue{x}+2\right)=2\blue{x}-5#
Étape 2	Développez les parenthèses.	#3\blue{x}\green{y}+2 \green{y}=2\blue{x}-5#
Étape 3	Mettez les termes constants à droite et les termes en #x# à gauche.	#3\blue{x}\green{y}-2\blue{x}=-2 \green{y}-5#
Étape 4	Mettez #x# en évidence.	#\blue x \left(3 \green{y}-2\right)=-2 \green{y}-5#
Étape 5	Divisez par les parenthèses, pour avoir que #x# à gauche.	#\blue x=\frac{-2 \green{y}-5}{3 \green{y}-2}#
Étape 6	Échangez #\blue x# et #\green y# pour obtenir la fonction réciproque.	#\green y=\frac{-2 \blue{x}-5}{3 \blue{x}-2}#

Isolation d'une variable Si la question est d'isoler la variable #x#, nous ne devons pas passer à l'étape 6 de la procédure. Nous sommes prêts après l'étape 5.

D'autre part, si nous nous demandons de déterminer la réciproque d'une fonction de la forme #f(x)=\tfrac{a\blue{x}+b}{c\blue{x}+d}# nous remplaçons d'abord #f(x)# par #\green y# puis nous appliquons la procédure. Après l'étape 6, nous pouvons de nouveau remplacer #\green y# par #f^{-1}(x)#.

Isolez #x# dans
\[y={{5\cdot x-6}\over{5\cdot x+8}}\]

#x={{-8\cdot y-6}\over{5\cdot y-5}}#

#\begin{array}{rcl}
y&=&{{5\cdot x-6}\over{5\cdot x+8}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation }}\\
y \cdot \left(5\cdot x+8\right)&=& 5\cdot x-6 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{division par }5\cdot x+8}\\
5\cdot y\cdot x+8\cdot y&=&5\cdot x-6 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{développement des parenthèses}}\\
5\cdot y\cdot x-5\cdot x &=&-8\cdot y-6 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{ter‍mes avec } x \text{ à gauche, termes sans }x \text{ à droite }}\\
\left(5\cdot y-5\right)\cdot x &=& -8\cdot y-6 \\ &&\phantom{xxx}\blue{x \text{ mis en évidence}}\\
x&=&{{-8\cdot y-6}\over{5\cdot y-5}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{division par }5\cdot y-5}\\
\end{array}#

Nouveau exemple